Sr Examen

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arctg(sqrt(n+2))/(n*ln(n+1)^2)

Suma de la serie arctg(sqrt(n+2))/(n*ln(n+1)^2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \        /  _______\
  \   atan\\/ n + 2 /
   )  ---------------
  /         2        
 /     n*log (n + 1) 
/___,                
n = 1                
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{n + 2} \right)}}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}$$
Sum(atan(sqrt(n + 2))/((n*log(n + 1)^2)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{n + 2} \right)}}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{n + 2} \right)}}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 2 \right)}^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{n + 2} \right)}}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{n + 3} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \        /  _______\
  \   atan\\/ 2 + n /
   )  ---------------
  /         2        
 /     n*log (1 + n) 
/___,                
n = 1                
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{n + 2} \right)}}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}$$
Sum(atan(sqrt(2 + n))/(n*log(1 + n)^2), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie arctg(sqrt(n+2))/(n*ln(n+1)^2)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie