Sr Examen

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(-1)^(n*2)*n/(n^2+1)

Suma de la serie (-1)^(n*2)*n/(n^2+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo           
____           
\   `          
 \        n*2  
  \   (-1)   *n
   )  ---------
  /      2     
 /      n  + 1 
/___,          
n = 1          
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{2 n} n}{n^{2} + 1}$$
Sum(((-1)^(n*2)*n)/(n^2 + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(-1\right)^{2 n} n}{n^{2} + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1}$$
y
$$x_{0} = 1$$
,
$$d = 2$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$R^{2} = \tilde{\infty} \left(1 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(\left(n + 1\right)^{2} + 1\right)}{\left(n + 1\right) \left(n^{2} + 1\right)}\right)\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{2} = \tilde{\infty}$$
$$R = \tilde{\infty}$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo           
____           
\   `          
 \          2*n
  \   n*(-1)   
   )  ---------
  /          2 
 /      1 + n  
/___,          
n = 1          
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{2 n} n}{n^{2} + 1}$$
Sum(n*(-1)^(2*n)/(1 + n^2), (n, 1, oo))
Respuesta numérica
La serie diverge
Gráfico
Suma de la serie (-1)^(n*2)*n/(n^2+1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie