Sr Examen

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1/(10^n)+2/10^(n+1)+5/10^(n+2)

Suma de la serie 1/(10^n)+2/10^(n+1)+5/10^(n+2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                           
____                           
\   `                          
 \    / 1     -1 - n    -2 - n\
  \   |--- + 5       + 2      |
  /   |  n                    |
 /    \10                     /
/___,                          
n = 1                          
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 2} + \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{n + 1} + \frac{1}{10^{n}}\right)\right)$$
Sum(1/(10^n) + (1/5)^(n + 1) + (1/2)^(n + 2), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 2} + \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{n + 1} + \frac{1}{10^{n}}\right)$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n + 2} + \left(\frac{1}{5}\right)^{n + 1} + 10^{- n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 2} + \left(\frac{1}{5}\right)^{n + 1} + 10^{- n}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 3} + \left(\frac{1}{5}\right)^{n + 2} + 10^{- (n + 1)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 2$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
37
--
90
$$\frac{37}{90}$$
37/90
Respuesta numérica [src]
0.411111111111111111111111111111
0.411111111111111111111111111111
Gráfico
Suma de la serie 1/(10^n)+2/10^(n+1)+5/10^(n+2)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie