Sr Examen

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arctg/n^2

Suma de la serie arctg/n^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo         
____         
\   `        
 \    atan(n)
  \   -------
  /       2  
 /       n   
/___,        
n = 1        
n=1atan(n)n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(n \right)}}{n^{2}}
Sum(atan(n)/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan(n)n2\frac{\operatorname{atan}{\left(n \right)}}{n^{2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan(n)n2a_{n} = \frac{\operatorname{atan}{\left(n \right)}}{n^{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)2atan(n)n2atan(n+1))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(n \right)}}{n^{2} \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.51.5
Respuesta numérica [src]
1.60728194331664439128535045493
1.60728194331664439128535045493
Gráfico
Suma de la serie arctg/n^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie