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Suma de la serie/ ((-1)^n)*(x^2*n+1)/((2*n+1)!*(2*n+1))

Suma de la serie ((-1)^n)*(x^2*n+1)/((2*n+1)!*(2*n+1))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
____                      
\   `                     
 \          n / 2      \  
  \     (-1) *\x *n + 1/  
  /   --------------------
 /    (2*n + 1)!*(2*n + 1)
/___,                     
n = 0
∑n=0∞(−1)n(nx2+1)(2n+1)(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{n} \left(n x^{2} + 1\right)}{\left(2 n + 1\right) \left(2 n + 1\right)!} 
Sum(((-1)^n*(x^2*n + 1))/((factorial(2*n + 1)*(2*n + 1))), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(−1)n(nx2+1)(2n+1)(2n+1)!\frac{\left(-1\right)^{n} \left(n x^{2} + 1\right)}{\left(2 n + 1\right) \left(2 n + 1\right)!}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=nx2+1(2n+1)(2n+1)!a_{n} = \frac{n x^{2} + 1}{\left(2 n + 1\right) \left(2 n + 1\right)!}
y
x0=1x_{0} = 1
,
d=1d = 1
,
c=0c = 0
entonces
R=∞~(1+lim⁡n→∞((2n+3)∣(nx2+1)(2n+3)!(x2(n+1)+1)(2n+1)!∣2n+1))R = \tilde{\infty} \left(1 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(2 n + 3\right) \left|{\frac{\left(n x^{2} + 1\right) \left(2 n + 3\right)!}{\left(x^{2} \left(n + 1\right) + 1\right) \left(2 n + 1\right)!}}\right|}{2 n + 1}\right)\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=∞R^{1} = \infty
R=∞R = \infty
Respuesta [src] 
 2 /sin(1)   Si(1)\        
x *|------ - -----| + Si(1)
   \  2        2  /
x2(−Si⁡(1)2+sin⁡(1)2)+Si⁡(1)x^{2} \left(- \frac{\operatorname{Si}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2}\right) + \operatorname{Si}{\left(1 \right)} 
x^2*(sin(1)/2 - Si(1)/2) + Si(1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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