Sr Examen

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Suma de la serie (-1)^n*((x+2)/3)^n*arctg((n+1)/(n^2+4))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                             
____                             
\   `                            
 \                 n             
  \       n /x + 2\      /n + 1 \
   )  (-1) *|-----| *atan|------|
  /         \  3  /      | 2    |
 /                       \n  + 4/
/___,                            
n = 0                            
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(-1\right)^{n} \left(\frac{x + 2}{3}\right)^{n} \operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}$$
Sum(((-1)^n*((x + 2)/3)^n)*atan((n + 1)/(n^2 + 4)), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\left(-1\right)^{n} \left(\frac{x + 2}{3}\right)^{n} \operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}$$
y
$$x_{0} = \frac{2}{3}$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = - \frac{1}{3}$$
entonces
$$R = - 3 \left(\frac{2}{3} + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{n + 2}{\left(n + 1\right)^{2} + 4} \right)}}\right)\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = -5$$
$$R = -5$$
Respuesta [src]
  oo                             
____                             
\   `                            
 \                 n             
  \       n /2   x\      /1 + n \
   )  (-1) *|- + -| *atan|------|
  /         \3   3/      |     2|
 /                       \4 + n /
/___,                            
n = 0                            
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(-1\right)^{n} \left(\frac{x}{3} + \frac{2}{3}\right)^{n} \operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}$$
Sum((-1)^n*(2/3 + x/3)^n*atan((1 + n)/(4 + n^2)), (n, 0, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie