Se da una serie:
$$\left(-1\right)^{n} \left(\frac{x + 2}{3}\right)^{n} \operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}$$
y
$$x_{0} = \frac{2}{3}$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = - \frac{1}{3}$$
entonces
$$R = - 3 \left(\frac{2}{3} + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 4} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{n + 2}{\left(n + 1\right)^{2} + 4} \right)}}\right)\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = -5$$
$$R = -5$$