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arctg(1/n^(1/3))
Suma de la serie/ arctg(1/n^(1/3))

Suma de la serie arctg(1/n^(1/3))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \        /  1  \
  \   atan|-----|
  /       |3 ___|
 /        \\/ n /
/___,            
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}$$ 
Sum(atan(1/(n^(1/3))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n + 1}} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \        /  1  \
  \   atan|-----|
  /       |3 ___|
 /        \\/ n /
/___,            
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}$$ 
Sum(atan(n^(-1/3)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica
La serie diverge
Gráfico
Suma de la serie arctg(1/n^(1/3))

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