Sr Examen

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arctg(1/n^(1/3))

Suma de la serie arctg(1/n^(1/3))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo             
____             
\   `            
 \        /  1  \
  \   atan|-----|
  /       |3 ___|
 /        \\/ n /
/___,            
n = 1            
n=1atan(1n3)\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}
Sum(atan(1/(n^(1/3))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan(1n3)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan(1n3)a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn(atan(1n3)atan(1n+13))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n + 1}} \right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.505
Respuesta [src]
  oo             
____             
\   `            
 \        /  1  \
  \   atan|-----|
  /       |3 ___|
 /        \\/ n /
/___,            
n = 1            
n=1atan(1n3)\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \right)}
Sum(atan(n^(-1/3)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica
La serie diverge
Gráfico
Suma de la serie arctg(1/n^(1/3))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie