Sr Examen

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Suma de la serie (x^n)/(n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo       
____       
\   `      
 \       n 
  \     x  
  /   -----
 /    n + 1
/___,      
n = 1      
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n + 1}$$
Sum(x^n/(n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{x^{n}}{n + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{n + 1}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 1$$
$$R = 1$$
Respuesta [src]
/  /  2   2*log(1 - x)\                         
|x*|- - - ------------|                         
|  |  x         2     |                         
|  \           x      /                         
|----------------------  for And(x >= -1, x < 1)
|          2                                    
|                                               
|       oo                                      
<     ____                                      
|     \   `                                     
|      \       n                                
|       \     x                                 
|       /   -----               otherwise       
|      /    1 + n                               
|     /___,                                     
|     n = 1                                     
\                                               
$$\begin{cases} \frac{x \left(- \frac{2}{x} - \frac{2 \log{\left(1 - x \right)}}{x^{2}}\right)}{2} & \text{for}\: x \geq -1 \wedge x < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n + 1} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((x*(-2/x - 2*log(1 - x)/x^2)/2, (x >= -1)∧(x < 1)), (Sum(x^n/(1 + n), (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie