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Suma de la serie/ sin(lnn)/n^a

Suma de la serie sin(lnn)/n^a


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \    sin(log(n))
  \   -----------
  /         a    
 /         n     
/___,            
n = 1
∑n=1∞sin⁡(log⁡(n))na\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}}{n^{a}} 
Sum(sin(log(n))/n^a, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin⁡(log⁡(n))na\frac{\sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}}{n^{a}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=n−asin⁡(log⁡(n))a_{n} = n^{- a} \sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(n−re⁡(a)(n+1)re⁡(a)∣sin⁡(log⁡(n))sin⁡(log⁡(n+1))∣)1 = \lim_{n \to \infty}\left(n^{- \operatorname{re}{\left(a\right)}} \left(n + 1\right)^{\operatorname{re}{\left(a\right)}} \left|{\frac{\sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}}{\sin{\left(\log{\left(n + 1 \right)} \right)}}}\right|\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
  oo                 
 ___                 
 \  `                
  \    -a            
  /   n  *sin(log(n))
 /__,                
n = 1
∑n=1∞n−asin⁡(log⁡(n))\sum_{n=1}^{\infty} n^{- a} \sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)} 
Sum(n^(-a)*sin(log(n)), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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