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Suma de la serie/ log(n)/sinh(i*n)

Suma de la serie log(n)/sinh(i*n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo           
 ___           
 \  `          
  \     log(n) 
   )  ---------
  /   sinh(I*n)
 /__,          
n = 1
∑n=1∞log⁡(n)sinh⁡(in)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log{\left(n \right)}}{\sinh{\left(i n \right)}} 
Sum(log(n)/sinh(i*n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
log⁡(n)sinh⁡(in)\frac{\log{\left(n \right)}}{\sinh{\left(i n \right)}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=−ilog⁡(n)sin⁡(n)a_{n} = - \frac{i \log{\left(n \right)}}{\sin{\left(n \right)}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(∣log⁡(n)sin⁡(n+1)sin⁡(n)∣log⁡(n+1))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{\log{\left(n \right)} \sin{\left(n + 1 \right)}}{\sin{\left(n \right)}}}\right|}{\log{\left(n + 1 \right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=lim⁡n→∞(∣log⁡(n)sin⁡(n+1)sin⁡(n)∣log⁡(n+1))R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{\log{\left(n \right)} \sin{\left(n + 1 \right)}}{\sin{\left(n \right)}}}\right|}{\log{\left(n + 1 \right)}}\right)
Respuesta [src] 
  oo            
 ___            
 \  `           
  \   -I*log(n) 
   )  ----------
  /     sin(n)  
 /__,           
n = 1
∑n=1∞−ilog⁡(n)sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} - \frac{i \log{\left(n \right)}}{\sin{\left(n \right)}} 
Sum(-i*log(n)/sin(n), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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