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Suma de la serie arctan(1/n^2+n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                  
____                  
\   `                 
 \        /1         \
  \   atan|-- + n + 1|
  /       | 2        |
 /        \n         /
/___,                 
n = 0                 
$$\sum_{n=0}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\left(n + \frac{1}{n^{2}}\right) + 1 \right)}$$
Sum(atan(1/(n^2) + n + 1), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\operatorname{atan}{\left(\left(n + \frac{1}{n^{2}}\right) + 1 \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{atan}{\left(n + 1 + \frac{1}{n^{2}} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(n + 1 + \frac{1}{n^{2}} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(n + 2 + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src]
  oo                  
____                  
\   `                 
 \        /        1 \
  \   atan|1 + n + --|
  /       |         2|
 /        \        n /
/___,                 
n = 0                 
$$\sum_{n=0}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(n + 1 + \frac{1}{n^{2}} \right)}$$
Sum(atan(1 + n + n^(-2)), (n, 0, oo))
Respuesta numérica [src]
Sum(atan(1/(n^2) + n + 1), (n, 0, oo))
Sum(atan(1/(n^2) + n + 1), (n, 0, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie