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Suma de la serie/ arctan(1/n^2+n+1)

Suma de la serie arctan(1/n^2+n+1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                  
____                  
\   `                 
 \        /1         \
  \   atan|-- + n + 1|
  /       | 2        |
 /        \n         /
/___,                 
n = 0
∑n=0∞atan⁡((n+1n2)+1)\sum_{n=0}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\left(n + \frac{1}{n^{2}}\right) + 1 \right)} 
Sum(atan(1/(n^2) + n + 1), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan⁡((n+1n2)+1)\operatorname{atan}{\left(\left(n + \frac{1}{n^{2}}\right) + 1 \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan⁡(n+1+1n2)a_{n} = \operatorname{atan}{\left(n + 1 + \frac{1}{n^{2}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(atan⁡(n+1+1n2)atan⁡(n+2+1(n+1)2))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(n + 1 + \frac{1}{n^{2}} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(n + 2 + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} \right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
  oo                  
____                  
\   `                 
 \        /        1 \
  \   atan|1 + n + --|
  /       |         2|
 /        \        n /
/___,                 
n = 0
∑n=0∞atan⁡(n+1+1n2)\sum_{n=0}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(n + 1 + \frac{1}{n^{2}} \right)} 
Sum(atan(1 + n + n^(-2)), (n, 0, oo))
Respuesta numérica [src] 
Sum(atan(1/(n^2) + n + 1), (n, 0, oo))
Sum(atan(1/(n^2) + n + 1), (n, 0, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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