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Suma de la serie/ n(a*x)^n/a*n!

Suma de la serie n(a*x)^n/a*n!


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \           n   
  \   n*(a*x)    
  /   --------*n!
 /       a       
/___,            
n = 0
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \left(a x\right)^{n}}{a} n!$$ 
Sum(((n*(a*x)^n)/a)*factorial(n), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{n \left(a x\right)^{n}}{a} n!$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{n n!}{a}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = a$$
entonces
$$R = \frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left|{\frac{n!}{\left(n + 1\right)!}}\right|}{n + 1}\right)}{a}$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 0$$
$$R = 0$$
Respuesta [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \           n   
  \   n*(a*x) *n!
  /   -----------
 /         a     
/___,            
n = 0
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \left(a x\right)^{n} n!}{a}$$ 
Sum(n*(a*x)^n*factorial(n)/a, (n, 0, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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