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Suma de la serie/ x(1-x)^n

Suma de la serie x(1-x)^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo            
 ___            
 \  `           
  \            n
  /   x*(1 - x) 
 /__,           
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} x \left(1 - x\right)^{n}$$ 
Sum(x*(1 - x)^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$x \left(1 - x\right)^{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = x$$
y
$$x_{0} = -1$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = -1$$
entonces
$$R = - (-1 + \lim_{n \to \infty} 1)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 0$$
$$R = 0$$
Respuesta [src] 
  //    1 - x                       \
  ||    -----       for |-1 + x| < 1|
  ||      x                         |
  ||                                |
  ||  oo                            |
x*|< ___                            |
  || \  `                           |
  ||  \          n                  |
  ||  /   (1 - x)      otherwise    |
  || /__,                           |
  \\n = 1                           /
$$x \left(\begin{cases} \frac{1 - x}{x} & \text{for}\: \left|{x - 1}\right| < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - x\right)^{n} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$ 
x*Piecewise(((1 - x)/x, |-1 + x| < 1), (Sum((1 - x)^n, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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