Sr Examen

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(1/n)*sin(n/(n^2+1))

Suma de la serie (1/n)*sin(n/(n^2+1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
_____             
\    `            
 \        /  n   \
  \    sin|------|
   \      | 2    |
   /      \n  + 1/
  /    -----------
 /          n     
/____,            
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(\frac{n}{n^{2} + 1} \right)}}{n}$$
Sum(sin(n/(n^2 + 1))/n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\sin{\left(\frac{n}{n^{2} + 1} \right)}}{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\sin{\left(\frac{n}{n^{2} + 1} \right)}}{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left|{\frac{\sin{\left(\frac{n}{n^{2} + 1} \right)}}{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 1\right)^{2} + 1} \right)}}}\right|}{n}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Gráfico
Suma de la serie (1/n)*sin(n/(n^2+1))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie