Sr Examen

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(1+ln^2(n))/(nln^2(n))

Suma de la serie (1+ln^2(n))/(nln^2(n))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo             
____             
\   `            
 \           2   
  \   1 + log (n)
   )  -----------
  /         2    
 /     n*log (n) 
/___,            
n = 2            
n=2log(n)2+1nlog(n)2\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\log{\left(n \right)}^{2} + 1}{n \log{\left(n \right)}^{2}}
Sum((1 + log(n)^2)/((n*log(n)^2)), (n, 2, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
log(n)2+1nlog(n)2\frac{\log{\left(n \right)}^{2} + 1}{n \log{\left(n \right)}^{2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=log(n)2+1nlog(n)2a_{n} = \frac{\log{\left(n \right)}^{2} + 1}{n \log{\left(n \right)}^{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)(log(n)2+1)log(n+1)21log(n)2n(log(n+1)2+1))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left(\log{\left(n \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}^{2} \left|{\frac{1}{\log{\left(n \right)}^{2}}}\right|}{n \left(\log{\left(n + 1 \right)}^{2} + 1\right)}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
2.08.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.07.504
Respuesta [src]
  oo             
____             
\   `            
 \           2   
  \   1 + log (n)
   )  -----------
  /         2    
 /     n*log (n) 
/___,            
n = 2            
n=2log(n)2+1nlog(n)2\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\log{\left(n \right)}^{2} + 1}{n \log{\left(n \right)}^{2}}
Sum((1 + log(n)^2)/(n*log(n)^2), (n, 2, oo))
Respuesta numérica [src]
0.e+2
0.e+2
Gráfico
Suma de la serie (1+ln^2(n))/(nln^2(n))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie