Sr Examen

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ln(sqrt(n^2+3n)/sqrt(n^2-n))

Suma de la serie ln(sqrt(n^2+3n)/sqrt(n^2-n))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                     
_____                    
\    `                   
 \        /   __________\
  \       |  /  2       |
   \      |\/  n  + 3*n |
    )  log|-------------|
   /      |    ________ |
  /       |   /  2      |
 /        \ \/  n  - n  /
/____,                   
n = 2                    
n=2log(n2+3nn2n)\sum_{n=2}^{\infty} \log{\left(\frac{\sqrt{n^{2} + 3 n}}{\sqrt{n^{2} - n}} \right)}
Sum(log(sqrt(n^2 + 3*n)/sqrt(n^2 - n)), (n, 2, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
log(n2+3nn2n)\log{\left(\frac{\sqrt{n^{2} + 3 n}}{\sqrt{n^{2} - n}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=log(n2+3nn2n)a_{n} = \log{\left(\frac{\sqrt{n^{2} + 3 n}}{\sqrt{n^{2} - n}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limnlog(n2+3nn2n)log(3n+(n+1)2+3n+(n+1)21)1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{n^{2} + 3 n}}{\sqrt{n^{2} - n}} \right)}}{\log{\left(\frac{\sqrt{3 n + \left(n + 1\right)^{2} + 3}}{\sqrt{- n + \left(n + 1\right)^{2} - 1}} \right)}}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
2.08.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.07.50.05.0
Gráfico
Suma de la serie ln(sqrt(n^2+3n)/sqrt(n^2-n))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie