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ln(n^2+1/(2n^2+1))

Suma de la serie ln(n^2+1/(2n^2+1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                    
____                    
\   `                   
 \       / 2      1    \
  \   log|n  + --------|
  /      |        2    |
 /       \     2*n  + 1/
/___,                   
n = 1                   
n=1log(n2+12n2+1)\sum_{n=1}^{\infty} \log{\left(n^{2} + \frac{1}{2 n^{2} + 1} \right)}
Sum(log(n^2 + 1/(2*n^2 + 1)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
log(n2+12n2+1)\log{\left(n^{2} + \frac{1}{2 n^{2} + 1} \right)}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=log(n2+12n2+1)a_{n} = \log{\left(n^{2} + \frac{1}{2 n^{2} + 1} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn(log(n2+12n2+1)log((n+1)2+12(n+1)2+1))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(n^{2} + \frac{1}{2 n^{2} + 1} \right)}}\right|}{\log{\left(\left(n + 1\right)^{2} + \frac{1}{2 \left(n + 1\right)^{2} + 1} \right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=limn(log(n2+12n2+1)log((n+1)2+12(n+1)2+1))R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(n^{2} + \frac{1}{2 n^{2} + 1} \right)}}\right|}{\log{\left(\left(n + 1\right)^{2} + \frac{1}{2 \left(n + 1\right)^{2} + 1} \right)}}\right)
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.5020
Gráfico
Suma de la serie ln(n^2+1/(2n^2+1))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie