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Suma de la serie/ ln(x)/n^2

Suma de la serie ln(x)/n^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo        
____        
\   `       
 \    log(x)
  \   ------
  /      2  
 /      n   
/___,       
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{n^{2}}$$ 
Sum(log(x)/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\log{\left(x \right)}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src] 
  2       
pi *log(x)
----------
    6
$$\frac{\pi^{2} \log{\left(x \right)}}{6}$$ 
pi^2*log(x)/6

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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