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Suma de la serie ln(x)/n^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo        
____        
\   `       
 \    log(x)
  \   ------
  /      2  
 /      n   
/___,       
n = 1       
n=1log(x)n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{n^{2}}
Sum(log(x)/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
log(x)n2\frac{\log{\left(x \right)}}{n^{2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=log(x)n2a_{n} = \frac{\log{\left(x \right)}}{n^{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)2n2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src]
  2       
pi *log(x)
----------
    6     
π2log(x)6\frac{\pi^{2} \log{\left(x \right)}}{6}
pi^2*log(x)/6

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie