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((n+1)^2)/(2^n-1)
Suma de la serie/ ((n+1)^2)/(2^n-1)

Suma de la serie ((n+1)^2)/(2^n-1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo          
____          
\   `         
 \           2
  \   (n + 1) 
   )  --------
  /     n     
 /     2  - 1 
/___,         
n = 1
∑n=1∞(n+1)22n−1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(n + 1\right)^{2}}{2^{n} - 1} 
Sum((n + 1)^2/(2^n - 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(n+1)22n−1\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{2^{n} - 1}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(n+1)22n−1a_{n} = \frac{\left(n + 1\right)^{2}}{2^{n} - 1}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞((n+1)2∣2n+1−12n−1∣(n+2)2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \left|{\frac{2^{n + 1} - 1}{2^{n} - 1}}\right|}{\left(n + 2\right)^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=2R^{0} = 2
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.5020
Respuesta numérica [src] 
14.1940481088251755987768563283
14.1940481088251755987768563283
Gráfico
Suma de la serie ((n+1)^2)/(2^n-1)

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