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Suma de la serie/ (-1)^(n+1)((2n+1)/(2^n)n!)

Suma de la serie (-1)^(n+1)((2n+1)/(2^n)n!)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
____                      
\   `                     
 \        n + 1 2*n + 1   
  \   (-1)     *-------*n!
  /                 n     
 /                 2      
/___,                     
k = 1
∑k=1∞(−1)n+12n+12nn!\sum_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^{n + 1} \frac{2 n + 1}{2^{n}} n! 
Sum((-1)^(n + 1)*(((2*n + 1)/2^n)*factorial(n)), (k, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(−1)n+12n+12nn!\left(-1\right)^{n + 1} \frac{2 n + 1}{2^{n}} n!
Es la serie del tipo
ak(cx−x0)dka_{k} \left(c x - x_{0}\right)^{d k}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡k→∞∣akak+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{k \to \infty} \left|{\frac{a_{k}}{a_{k + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
ak=(−1)n+1⋅2−n(2n+1)n!a_{k} = \left(-1\right)^{n + 1} \cdot 2^{- n} \left(2 n + 1\right) n!
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡k→∞11 = \lim_{k \to \infty} 1
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
       1 + n  -n             
oo*(-1)     *2  *(1 + 2*n)*n!
∞(−1)n+1⋅2−n(2n+1)n!\infty \left(-1\right)^{n + 1} \cdot 2^{- n} \left(2 n + 1\right) n! 
oo*(-1)^(1 + n)*2^(-n)*(1 + 2*n)*factorial(n)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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