Sr Examen

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arctg(n^2)/(n*(n+1)*(n+2))

Suma de la serie arctg(n^2)/(n*(n+1)*(n+2))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                   
____                   
\   `                  
 \             / 2\    
  \        atan\n /    
  /   -----------------
 /    n*(n + 1)*(n + 2)
/___,                  
n = 1                  
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(n^{2} \right)}}{n \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$
Sum(atan(n^2)/(((n*(n + 1))*(n + 2))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(n^{2} \right)}}{n \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\operatorname{atan}{\left(n^{2} \right)}}{n \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \operatorname{atan}{\left(n^{2} \right)}}{n \operatorname{atan}{\left(\left(n + 1\right)^{2} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                   
____                   
\   `                  
 \             / 2\    
  \        atan\n /    
  /   -----------------
 /    n*(1 + n)*(2 + n)
/___,                  
n = 1                  
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(n^{2} \right)}}{n \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$
Sum(atan(n^2)/(n*(1 + n)*(2 + n)), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie arctg(n^2)/(n*(n+1)*(n+2))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie