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Suma de la serie arcsin^np/4n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo            
____            
\   `           
 \        n     
  \   asin (p)  
  /   --------*n
 /       4      
/___,           
n = 1           
n=1nasinn(p)4\sum_{n=1}^{\infty} n \frac{\operatorname{asin}^{n}{\left(p \right)}}{4}
Sum((asin(p)^n/4)*n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
nasinn(p)4n \frac{\operatorname{asin}^{n}{\left(p \right)}}{4}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=n4a_{n} = \frac{n}{4}
y
x0=asin(p)x_{0} = - \operatorname{asin}{\left(p \right)}
,
d=1d = 1
,
c=0c = 0
entonces
R=~(asin(p)+limn(n4(n4+14)))R = \tilde{\infty} \left(- \operatorname{asin}{\left(p \right)} + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{4 \left(\frac{n}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right)\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=~(1asin(p))R^{1} = \tilde{\infty} \left(1 - \operatorname{asin}{\left(p \right)}\right)
R=~(1asin(p))R = \tilde{\infty} \left(1 - \operatorname{asin}{\left(p \right)}\right)
Respuesta [src]
/    asin(p)                        
| --------------   for |asin(p)| < 1
|              2                    
| (1 - asin(p))                     
|                                   
|  oo                               
< ___                               
| \  `                              
|  \         n                      
|  /   n*asin (p)      otherwise    
| /__,                              
|n = 1                              
\                                   
------------------------------------
                 4                  
{asin(p)(1asin(p))2forasin(p)<1n=1nasinn(p)otherwise4\frac{\begin{cases} \frac{\operatorname{asin}{\left(p \right)}}{\left(1 - \operatorname{asin}{\left(p \right)}\right)^{2}} & \text{for}\: \left|{\operatorname{asin}{\left(p \right)}}\right| < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} n \operatorname{asin}^{n}{\left(p \right)} & \text{otherwise} \end{cases}}{4}
Piecewise((asin(p)/(1 - asin(p))^2, Abs(asin(p)) < 1), (Sum(n*asin(p)^n, (n, 1, oo)), True))/4

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie