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Suma de la serie/ sin(x)^2/(5n)^2

Suma de la serie sin(x)^2/(5n)^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo         
____         
\   `        
 \       2   
  \   sin (x)
   )  -------
  /         2
 /     (5*n) 
/___,        
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(5 n\right)^{2}}$$ 
Sum(sin(x)^2/(5*n)^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(5 n\right)^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25 n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src] 
  2    2   
pi *sin (x)
-----------
    150
$$\frac{\pi^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{150}$$ 
pi^2*sin(x)^2/150

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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