Sr Examen

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Suma de la serie ln(1-1/k^2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo             
____             
\   `            
 \       /    1 \
  \   log|1 - --|
  /      |     2|
 /       \    k /
/___,            
n = 2            
$$\sum_{n=2}^{\infty} \log{\left(1 - \frac{1}{k^{2}} \right)}$$
Sum(log(1 - 1/k^2), (n, 2, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\log{\left(1 - \frac{1}{k^{2}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \log{\left(1 - \frac{1}{k^{2}} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} 1$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src]
      /    1 \
oo*log|1 - --|
      |     2|
      \    k /
$$\infty \log{\left(1 - \frac{1}{k^{2}} \right)}$$
oo*log(1 - 1/k^2)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie