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Derivada de la función/ x*exp(-x)*(a*cos(2*x)+b*sin(2*))

Derivada de x*exp(-x)*(a*cos(2*x)+b*sin(2*))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   -x                        
x*e  *(a*cos(2*x) + b*sin(2))
xe−x(acos⁡(2x)+bsin⁡(2))x e^{- x} \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right) 
(x*exp(-x))*(a*cos(2*x) + b*sin(2))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=x(acos⁡(2x)+bsin⁡(2))f{\left(x \right)} = x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right) y g(x)=exg{\left(x \right)} = e^{x}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=acos⁡(2x)+bsin⁡(2)g{\left(x \right)} = a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos acos⁡(2x)+bsin⁡(2)a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)} miembro por miembro:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

          Entonces, como resultado: −2asin⁡(2x)- 2 a \sin{\left(2 x \right)}

        2. La derivada de una constante bsin⁡(2)b \sin{\left(2 \right)} es igual a cero.

        Como resultado de: −2asin⁡(2x)- 2 a \sin{\left(2 x \right)}

      Como resultado de: −2axsin⁡(2x)+acos⁡(2x)+bsin⁡(2)- 2 a x \sin{\left(2 x \right)} + a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Derivado exe^{x} es.

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (−x(acos⁡(2x)+bsin⁡(2))ex+(−2axsin⁡(2x)+acos⁡(2x)+bsin⁡(2))ex)e−2x\left(- x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right) e^{x} + \left(- 2 a x \sin{\left(2 x \right)} + a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}

  2. Simplificamos:

    (−2axsin⁡(2x)+acos⁡(2x)+bsin⁡(2)−x(acos⁡(2x)+bsin⁡(2)))e−x\left(- 2 a x \sin{\left(2 x \right)} + a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)} - x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right)\right) e^{- x}

Respuesta:

(−2axsin⁡(2x)+acos⁡(2x)+bsin⁡(2)−x(acos⁡(2x)+bsin⁡(2)))e−x\left(- 2 a x \sin{\left(2 x \right)} + a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)} - x \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right)\right) e^{- x}

Primera derivada [src] 
                        /     -x    -x\          -x         
(a*cos(2*x) + b*sin(2))*\- x*e   + e  / - 2*a*x*e  *sin(2*x)
−2axe−xsin⁡(2x)+(acos⁡(2x)+bsin⁡(2))(−xe−x+e−x)- 2 a x e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} + \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right) \left(- x e^{- x} + e^{- x}\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                                             -x
((-2 + x)*(a*cos(2*x) + b*sin(2)) - 4*a*x*cos(2*x) + 4*a*(-1 + x)*sin(2*x))*e
(−4axcos⁡(2x)+4a(x−1)sin⁡(2x)+(x−2)(acos⁡(2x)+bsin⁡(2)))e−x\left(- 4 a x \cos{\left(2 x \right)} + 4 a \left(x - 1\right) \sin{\left(2 x \right)} + \left(x - 2\right) \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right)\right) e^{- x}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                                                                       -x
(-(-3 + x)*(a*cos(2*x) + b*sin(2)) - 6*a*(-2 + x)*sin(2*x) + 8*a*x*sin(2*x) + 12*a*(-1 + x)*cos(2*x))*e
(8axsin⁡(2x)−6a(x−2)sin⁡(2x)+12a(x−1)cos⁡(2x)−(x−3)(acos⁡(2x)+bsin⁡(2)))e−x\left(8 a x \sin{\left(2 x \right)} - 6 a \left(x - 2\right) \sin{\left(2 x \right)} + 12 a \left(x - 1\right) \cos{\left(2 x \right)} - \left(x - 3\right) \left(a \cos{\left(2 x \right)} + b \sin{\left(2 \right)}\right)\right) e^{- x}
Simplificar
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