Derivada de y=sqrt(x+1)/cos(x/2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{\sqrt{x + 1} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \sqrt{x + 1}}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{x + 1} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{x + 1} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}$