Derivada de x*t*sqrt(t)/exp(2*x*t^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = t^{\frac{3}{2}} x$ y $g{\left(t \right)} = e^{t^{2} \cdot 2 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $t^{\frac{3}{2}}$ tenemos $\frac{3 \sqrt{t}}{2}$

      Entonces, como resultado: $\frac{3 \sqrt{t} x}{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Sustituimos $u = t^{2} \cdot 2 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial t} t^{2} \cdot 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $t^{2}$ tenemos $2 t$

         Entonces, como resultado: $4 t x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $4 t x e^{t^{2} \cdot 2 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 4 t^{\frac{5}{2}} x^{2} e^{t^{2} \cdot 2 x} + \frac{3 \sqrt{t} x e^{t^{2} \cdot 2 x}}{2}\right) e^{- 4 t^{2} x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{t} x \left(- 8 t^{2} x + 3\right) e^{- 2 t^{2} x}}{2}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{t} x \left(- 8 t^{2} x + 3\right) e^{- 2 t^{2} x}}{2}$