Derivada de (1-sin(2*x))/(1+cos(2*x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1 - \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + 1$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $1 - \sin{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $- 2 \cos{\left(2 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\cos{\left(2 x \right)} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Sustituimos $u = 2 x$.

      3. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{2 \left(1 - \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1}{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1}{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}$