Derivada de y=x*sqrt(ln(5x-8))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(5 x - 8 \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(5 x - 8 \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(5 x - 8 \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x - 8$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 x - 8\right)$:

         1. diferenciamos $5 x - 8$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            2. La derivada de una constante $-8$ es igual a cero.

            Como resultado de: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{5}{5 x - 8}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5}{2 \left(5 x - 8\right) \sqrt{\log{\left(5 x - 8 \right)}}}$

   Como resultado de: $\frac{5 x}{2 \left(5 x - 8\right) \sqrt{\log{\left(5 x - 8 \right)}}} + \sqrt{\log{\left(5 x - 8 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\frac{5 x}{2} + \left(5 x - 8\right) \log{\left(5 x - 8 \right)}}{\left(5 x - 8\right) \sqrt{\log{\left(5 x - 8 \right)}}}$

Respuesta:

$\frac{\frac{5 x}{2} + \left(5 x - 8\right) \log{\left(5 x - 8 \right)}}{\left(5 x - 8\right) \sqrt{\log{\left(5 x - 8 \right)}}}$