Derivada de x/(sqrt(1+exp(x)))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{e^{x} + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{x} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Derivado $e^{x}$ es.

         Como resultado de: $e^{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{e^{x}}{2 \sqrt{e^{x} + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{x e^{x}}{2 \sqrt{e^{x} + 1}} + \sqrt{e^{x} + 1}}{e^{x} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- \frac{x e^{x}}{2} + e^{x} + 1}{\left(e^{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{- \frac{x e^{x}}{2} + e^{x} + 1}{\left(e^{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$