Sr Examen

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x*ln(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2)
Derivada de la función/ (x+sqrt(1+x^2))/ x*ln(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2)

Derivada de x*ln(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /       ________\      ________
     |      /      2 |     /      2 
x*log\x + \/  1 + x  / - \/  1 + x
xlog⁡(x+x2+1)−x2+1x \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \sqrt{x^{2} + 1} 
x*log(x + sqrt(1 + x^2)) - sqrt(1 + x^2)
Solución detallada

  1. diferenciamos xlog⁡(x+x2+1)−x2+1x \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \sqrt{x^{2} + 1} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=log⁡(x+x2+1)g{\left(x \right)} = \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x+x2+1u = x + \sqrt{x^{2} + 1}.

      2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+x2+1)\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right):

        1. diferenciamos x+x2+1x + \sqrt{x^{2} + 1} miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          2. Sustituimos u=x2+1u = x^{2} + 1.

          3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2+1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right):

            1. diferenciamos x2+1x^{2} + 1 miembro por miembro:

              1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

              2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

              Como resultado de: 2x2 x

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            xx2+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

          Como resultado de: xx2+1+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xx2+1+1x+x2+1\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}

      Como resultado de: x(xx2+1+1)x+x2+1+log⁡(x+x2+1)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=x2+1u = x^{2} + 1.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2+1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right):

        1. diferenciamos x2+1x^{2} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Como resultado de: 2x2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xx2+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

      Entonces, como resultado: −xx2+1- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

    Como resultado de: −xx2+1+x(xx2+1+1)x+x2+1+log⁡(x+x2+1)- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}

  2. Simplificamos:

    log⁡(x+x2+1)\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}

Respuesta:

log⁡(x+x2+1)\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2525
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                  /         x     \                       
                x*|1 + -----------|                       
                  |       ________|                       
                  |      /      2 |      /       ________\
       x          \    \/  1 + x  /      |      /      2 |
- ----------- + ------------------- + log\x + \/  1 + x  /
     ________            ________                         
    /      2            /      2                          
  \/  1 + x       x + \/  1 + x
−xx2+1+x(xx2+1+1)x+x2+1+log⁡(x+x2+1)- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                                       2                                
                                /         x     \     /         x     \             /        2  \       
                              2*|1 + -----------|   x*|1 + -----------|             |       x   |       
                                |       ________|     |       ________|           x*|-1 + ------|       
                      2         |      /      2 |     |      /      2 |             |          2|       
       1             x          \    \/  1 + x  /     \    \/  1 + x  /             \     1 + x /       
- ----------- + ----------- + ------------------- - -------------------- - -----------------------------
     ________           3/2            ________                       2       ________ /       ________\
    /      2    /     2\              /      2       /       ________\       /      2  |      /      2 |
  \/  1 + x     \1 + x /        x + \/  1 + x        |      /      2 |     \/  1 + x  *\x + \/  1 + x  /
                                                     \x + \/  1 + x  /
x2(x2+1)32−x(x2x2+1−1)(x+x2+1)x2+1−x(xx2+1+1)2(x+x2+1)2−1x2+1+2(xx2+1+1)x+x2+1\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                   2                                                                      3                                                         /        2  \
                  /         x     \                           /        2  \              /         x     \               /        2  \            /         x     \ |       x   |
                3*|1 + -----------|                           |       x   |          2*x*|1 + -----------|             2 |       x   |        3*x*|1 + -----------|*|-1 + ------|
                  |       ________|                         3*|-1 + ------|              |       ________|          3*x *|-1 + ------|            |       ________| |          2|
         3        |      /      2 |                           |          2|              |      /      2 |               |          2|            |      /      2 | \     1 + x /
      3*x         \    \/  1 + x  /        3*x                \     1 + x /              \    \/  1 + x  /               \     1 + x /            \    \/  1 + x  /              
- ----------- - -------------------- + ----------- - ----------------------------- + ---------------------- + ----------------------------- + -----------------------------------
          5/2                     2            3/2      ________ /       ________\                      3             3/2 /       ________\                                   2  
  /     2\       /       ________\     /     2\        /      2  |      /      2 |     /       ________\      /     2\    |      /      2 |         ________ /       ________\   
  \1 + x /       |      /      2 |     \1 + x /      \/  1 + x  *\x + \/  1 + x  /     |      /      2 |      \1 + x /   *\x + \/  1 + x  /        /      2  |      /      2 |   
                 \x + \/  1 + x  /                                                     \x + \/  1 + x  /                                         \/  1 + x  *\x + \/  1 + x  /
−3x3(x2+1)52+3x2(x2x2+1−1)(x+x2+1)(x2+1)32+3x(x2+1)32+3x(xx2+1+1)(x2x2+1−1)(x+x2+1)2x2+1+2x(xx2+1+1)3(x+x2+1)3−3(x2x2+1−1)(x+x2+1)x2+1−3(xx2+1+1)2(x+x2+1)2- \frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{3 x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{3}} - \frac{3 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}
Simplificar
5-я производная [src] 
  /                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          2                                                                                                   \
  |                                                  4                                      2            /        2          4  \                         5                       2 /        2  \        /        2          4  \                          2                              /        2  \                         /        2          4  \        /        2  \                                            3 /        2  \                          2 /        2  \|
  |                                 /         x     \                          /        2  \             |     6*x        5*x   |        /         x     \       /         x     \  |       x   |      2 |    10*x        7*x   |             /        2  \             /         x     \ |       x   |       /         x     \ |     6*x        5*x   |        |       x   |  /         x     \        /         x     \  |       x   |       2 /         x     \  |       x   ||
  |                              10*|1 + -----------|                          |       x   |           5*|1 - ------ + ---------|    8*x*|1 + -----------|    20*|1 + -----------| *|-1 + ------|   5*x *|3 - ------ + ---------|           2 |       x   |        20*x*|1 + -----------|*|-1 + ------|   5*x*|1 + -----------|*|1 - ------ + ---------|   10*x*|-1 + ------| *|1 + -----------|   20*x*|1 + -----------| *|-1 + ------|   20*x *|1 + -----------| *|-1 + ------||
  |                                 |       ________|                        5*|-1 + ------|             |         2           2|        |       ________|       |       ________|  |          2|        |         2           2|       10*x *|-1 + ------|             |       ________| |          2|       |       ________| |         2           2|        |          2|  |       ________|        |       ________|  |          2|         |       ________|  |          2||
  |         5                       |      /      2 |           3              |          2|             |    1 + x    /     2\ |        |      /      2 |       |      /      2 |  \     1 + x /        |    1 + x    /     2\ |             |          2|             |      /      2 | \     1 + x /       |      /      2 | |    1 + x    /     2\ |        \     1 + x /  |      /      2 |        |      /      2 |  \     1 + x /         |      /      2 |  \     1 + x /|
  |     35*x           15*x         \    \/  1 + x  /       50*x               \     1 + x /             \             \1 + x / /        \    \/  1 + x  /       \    \/  1 + x  /                       \             \1 + x / /             \     1 + x /             \    \/  1 + x  /                     \    \/  1 + x  / \             \1 + x / /                       \    \/  1 + x  /        \    \/  1 + x  /                        \    \/  1 + x  /               |
3*|- ----------- - ----------- - --------------------- + ----------- - --------------------------- - ----------------------------- + ---------------------- - ----------------------------------- + ----------------------------- + ---------------------------- - ------------------------------------ + ---------------------------------------------- + ------------------------------------- + ------------------------------------- + --------------------------------------|
  |          9/2           5/2                      4            7/2                             2           3/2 /       ________\                      5                                     3             5/2 /       ________\                              2                                   2                                           2                                          3                                         4                                       3    |
  |  /     2\      /     2\        /       ________\     /     2\               /       ________\    /     2\    |      /      2 |     /       ________\            ________ /       ________\      /     2\    |      /      2 |           2 /       ________\               3/2 /       ________\                       3/2 /       ________\                          /       ________\                ________ /       ________\                   3/2 /       ________\     |
  |  \1 + x /      \1 + x /        |      /      2 |     \1 + x /      /     2\ |      /      2 |    \1 + x /   *\x + \/  1 + x  /     |      /      2 |           /      2  |      /      2 |      \1 + x /   *\x + \/  1 + x  /   /     2\  |      /      2 |       /     2\    |      /      2 |               /     2\    |      /      2 |                 /     2\ |      /      2 |               /      2  |      /      2 |           /     2\    |      /      2 |     |
  \                                \x + \/  1 + x  /                   \1 + x /*\x + \/  1 + x  /                                      \x + \/  1 + x  /         \/  1 + x  *\x + \/  1 + x  /                                      \1 + x / *\x + \/  1 + x  /       \1 + x /   *\x + \/  1 + x  /               \1 + x /   *\x + \/  1 + x  /                 \1 + x /*\x + \/  1 + x  /             \/  1 + x  *\x + \/  1 + x  /           \1 + x /   *\x + \/  1 + x  /     /
3(−35x5(x2+1)92+50x3(x2+1)72+5x2(7x4(x2+1)2−10x2x2+1+3)(x+x2+1)(x2+1)52+10x2(x2x2+1−1)2(x+x2+1)2(x2+1)2+20x2(xx2+1+1)2(x2x2+1−1)(x+x2+1)3(x2+1)32−15x(x2+1)52−20x(xx2+1+1)(x2x2+1−1)(x+x2+1)2(x2+1)32+5x(xx2+1+1)(5x4(x2+1)2−6x2x2+1+1)(x+x2+1)2(x2+1)32+10x(xx2+1+1)(x2x2+1−1)2(x+x2+1)3(x2+1)+20x(xx2+1+1)3(x2x2+1−1)(x+x2+1)4x2+1+8x(xx2+1+1)5(x+x2+1)5−5(5x4(x2+1)2−6x2x2+1+1)(x+x2+1)(x2+1)32−5(x2x2+1−1)2(x+x2+1)2(x2+1)−20(xx2+1+1)2(x2x2+1−1)(x+x2+1)3x2+1−10(xx2+1+1)4(x+x2+1)4)3 \left(- \frac{35 x^{5}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{9}{2}}} + \frac{50 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{7}{2}}} + \frac{5 x^{2} \left(\frac{7 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{10 x^{2}}{x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{10 x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{20 x^{2} \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{3} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{15 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{20 x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{5 x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right) \left(\frac{5 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{10 x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{3} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{20 x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{3} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{4} \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{8 x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{5}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{5}} - \frac{5 \left(\frac{5 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{20 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{3} \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{10 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{4}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{4}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de x*ln(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2)
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