Derivada de x*exp(-x)5/sqrt^1/5(x+lnx)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 5 x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt[10]{x + \log{\left(x \right)}} e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $5$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sqrt[10]{x + \log{\left(x \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + \log{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[10]{u}$ tenemos $\frac{1}{10 u^{\frac{9}{10}}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + \log{\left(x \right)}\right)$:

         1. diferenciamos $x + \log{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Como resultado de: $1 + \frac{1}{x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1 + \frac{1}{x}}{10 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{9}{10}}}$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right) e^{x}}{10 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{9}{10}}} + \sqrt[10]{x + \log{\left(x \right)}} e^{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(- 5 x \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right) e^{x}}{10 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{9}{10}}} + \sqrt[10]{x + \log{\left(x \right)}} e^{x}\right) + 5 \sqrt[10]{x + \log{\left(x \right)}} e^{x}\right) e^{- 2 x}}{\sqrt[5]{x + \log{\left(x \right)}}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(- 10 x \left(x + \log{\left(x \right)}\right) + 9 x + 10 \log{\left(x \right)} - 1\right) e^{- x}}{2 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{11}{10}}}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 10 x \left(x + \log{\left(x \right)}\right) + 9 x + 10 \log{\left(x \right)} - 1\right) e^{- x}}{2 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{11}{10}}}$