Derivada de ((cos(2*x)+sin(3*x))/(sqrt(4-x^3)))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{4 - x^{3}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      4. Sustituimos $u = 3 x$.

      5. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de: $- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 - x^{3}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 - x^{3}\right)$:

      1. diferenciamos $4 - x^{3}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $- 3 x^{2}$

         Como resultado de: $- 3 x^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{4 - x^{3}}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{3 x^{2} \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)}{2 \sqrt{4 - x^{3}}} + \sqrt{4 - x^{3}} \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{4 - x^{3}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 x^{2} \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + \left(2 x^{3} - 8\right) \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{2 \left(4 - x^{3}\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{2} \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + \left(2 x^{3} - 8\right) \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{2 \left(4 - x^{3}\right)^{\frac{3}{2}}}$