Derivada de x*sqrt(x)+ctg(2x)*cos(x)+1

1. diferenciamos $\left(\sqrt{x} x + \cos{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}\right) + 1$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\sqrt{x} x + \cos{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$

      2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \cot{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

            Method #1

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(2 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x \right)}}$

            2. Sustituimos $u = \tan{\left(2 x \right)}$.

            3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}$:

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 2 x$.

                  2. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $2$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $2 \cos{\left(2 x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 2 x$.

                  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $2$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}}$

            Method #2

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 2 x$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $2$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 2 x$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $2$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $2 \cos{\left(2 x \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- \frac{\left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{\left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}$

   2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{\left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{3 \sqrt{x} \cos{\left(4 x \right)} - 3 \sqrt{x} + 8 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{3 \sqrt{x} \cos{\left(4 x \right)} - 3 \sqrt{x} + 8 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}$