Derivada de sin(x/2)+cos(x/2)

1. diferenciamos $\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   4. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

   5. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   Como resultado de: $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{2} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$