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y''''=(sin(x/2)+cos(x/2))^2

Derivada de y''''=(sin(x/2)+cos(x/2))^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                 2
/   /x\      /x\\ 
|sin|-| + cos|-|| 
\   \2/      \2// 
(sin(x2)+cos(x2))2\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}
(sin(x/2) + cos(x/2))^2
Solución detallada
  1. Sustituimos u=sin(x2)+cos(x2)u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(sin(x2)+cos(x2))\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right):

    1. diferenciamos sin(x2)+cos(x2)\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} miembro por miembro:

      1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        cos(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

      4. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

      5. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

      Como resultado de: sin(x2)2+cos(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    (sin(x2)2+cos(x2)2)(2sin(x2)+2cos(x2))\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)

  4. Simplificamos:

    cos(x)\cos{\left(x \right)}


Respuesta:

cos(x)\cos{\left(x \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Primera derivada [src]
/     /x\      /x\\ /   /x\      /x\\
|- sin|-| + cos|-||*|sin|-| + cos|-||
\     \2/      \2// \   \2/      \2//
(sin(x2)+cos(x2))(sin(x2)+cos(x2))\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
Segunda derivada [src]
                   2                    2
/     /x\      /x\\    /   /x\      /x\\ 
|- cos|-| + sin|-||  - |cos|-| + sin|-|| 
\     \2/      \2//    \   \2/      \2// 
-----------------------------------------
                    2                    
(sin(x2)cos(x2))2(sin(x2)+cos(x2))22\frac{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}}{2}
3-я производная [src]
/     /x\      /x\\ /   /x\      /x\\
|- cos|-| + sin|-||*|cos|-| + sin|-||
\     \2/      \2// \   \2/      \2//
(sin(x2)cos(x2))(sin(x2)+cos(x2))\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
Tercera derivada [src]
/     /x\      /x\\ /   /x\      /x\\
|- cos|-| + sin|-||*|cos|-| + sin|-||
\     \2/      \2// \   \2/      \2//
(sin(x2)cos(x2))(sin(x2)+cos(x2))\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
Gráfico
Derivada de y''''=(sin(x/2)+cos(x/2))^2