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Resolución de integrales/ cos(x/2)/ sin(x/2)/ (sin(x/2)+cos(x/2))^2

Integral de (sin(x/2)+cos(x/2))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
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 |  /   /x\      /x\\    
 |  |sin|-| + cos|-||  dx
 |  \   \2/      \2//    
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0
∫01(sin⁡(x2)+cos⁡(x2))2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((sin(x/2) + cos(x/2))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x2)+cos⁡(x2))2=sin⁡2(x2)+2sin⁡(x2)cos⁡(x2)+cos⁡2(x2)\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x2)=12−cos⁡(x)2\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)2) dx=−∫cos⁡(x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)2- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

        El resultado es: x2−sin⁡(x)2\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x2)cos⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2)cos⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos⁡(x2)u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x2)dx2du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

            ∫(−2u) du\int \left(- 2 u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−2∫u du\int u\, du = - 2 \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u2- u^{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x2)- \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Método #2

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u)cos⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u)cos⁡(u) du=2∫sin⁡(u)cos⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

              1. que u=cos⁡(u)u = \cos{\left(u \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(u)dudu = - \sin{\left(u \right)} du y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(u)2- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(u)- \cos^{2}{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x2)- \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Método #3

          1. que u=sin⁡(x2)u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x2)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2u du\int 2 u\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=2∫u du\int u\, du = 2 \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: u2u^{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡2(x2)\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡2(x2)- 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x2)=cos⁡(x)2+12\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(x)2 dx=∫cos⁡(x) dx2\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)2\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(x)2\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: x−2cos⁡2(x2)x - 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x2)+cos⁡(x2))2=sin⁡2(x2)+2sin⁡(x2)cos⁡(x2)+cos⁡2(x2)\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x2)=12−cos⁡(x)2\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)2) dx=−∫cos⁡(x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)2- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

        El resultado es: x2−sin⁡(x)2\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x2)cos⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2)cos⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x2)u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x2)dx2du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2u) du\int \left(- 2 u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−2∫u du\int u\, du = - 2 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u2- u^{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x2)- \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡2(x2)- 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x2)=cos⁡(x)2+12\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(x)2 dx=∫cos⁡(x) dx2\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)2\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(x)2\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: x−2cos⁡2(x2)x - 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x−cos⁡(x)−1x - \cos{\left(x \right)} - 1

  3. Añadimos la constante de integración:

    x−cos⁡(x)−1+constantx - \cos{\left(x \right)} - 1+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x−cos⁡(x)−1+constantx - \cos{\left(x \right)} - 1+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 |                  2                       
 | /   /x\      /x\\                    2/x\
 | |sin|-| + cos|-||  dx = C + x - 2*cos |-|
 | \   \2/      \2//                     \2/
 |                                          
/
∫(sin⁡(x2)+cos⁡(x2))2 dx=C+x−2cos⁡2(x2)\int \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}\, dx = C + x - 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2           2     
2 + sin (1/2) - cos (1/2)
−cos⁡2(12)+sin⁡2(12)+2- \cos^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sin^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 
=
= 
       2           2     
2 + sin (1/2) - cos (1/2)
−cos⁡2(12)+sin⁡2(12)+2- \cos^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sin^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 
2 + sin(1/2)^2 - cos(1/2)^2
Respuesta numérica [src] 
1.45969769413186
1.45969769413186

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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