Sr Examen

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y=tg(5*x^3)ln(sin(2*x))
Derivada de la función/ 5*x^3/ sin(2*x)/ y=tg(5*x^3)ln(sin(2*x))

Derivada de y=tg(5*x^3)ln(sin(2*x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /   3\              
tan\5*x /*log(sin(2*x))
log⁡(sin⁡(2x))tan⁡(5x3)\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} \tan{\left(5 x^{3} \right)} 
tan(5*x^3)*log(sin(2*x))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=tan⁡(5x3)f{\left(x \right)} = \tan{\left(5 x^{3} \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan⁡(5x3)=sin⁡(5x3)cos⁡(5x3)\tan{\left(5 x^{3} \right)} = \frac{\sin{\left(5 x^{3} \right)}}{\cos{\left(5 x^{3} \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin⁡(5x3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x^{3} \right)} y g(x)=cos⁡(5x3)g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x^{3} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=5x3u = 5 x^{3}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx5x3\frac{d}{d x} 5 x^{3}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

          Entonces, como resultado: 15x215 x^{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        15x2cos⁡(5x3)15 x^{2} \cos{\left(5 x^{3} \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=5x3u = 5 x^{3}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx5x3\frac{d}{d x} 5 x^{3}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

          Entonces, como resultado: 15x215 x^{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −15x2sin⁡(5x3)- 15 x^{2} \sin{\left(5 x^{3} \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      15x2sin⁡2(5x3)+15x2cos⁡2(5x3)cos⁡2(5x3)\frac{15 x^{2} \sin^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 15 x^{2} \cos^{2}{\left(5 x^{3} \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x^{3} \right)}}

    g(x)=log⁡(sin⁡(2x))g{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(2x)\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}:

      1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2cos⁡(2x)sin⁡(2x)\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

    Como resultado de: (15x2sin⁡2(5x3)+15x2cos⁡2(5x3))log⁡(sin⁡(2x))cos⁡2(5x3)+2cos⁡(2x)tan⁡(5x3)sin⁡(2x)\frac{\left(15 x^{2} \sin^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 15 x^{2} \cos^{2}{\left(5 x^{3} \right)}\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x^{3} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(5 x^{3} \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

  2. Simplificamos:

    30x2log⁡(sin⁡(2x))sin⁡(2x)+sin⁡(10x3−2x)+sin⁡(10x3+2x)2sin⁡(2x)cos⁡2(5x3)\frac{30 x^{2} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(10 x^{3} - 2 x \right)} + \sin{\left(10 x^{3} + 2 x \right)}}{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x^{3} \right)}}

Respuesta:

30x2log⁡(sin⁡(2x))sin⁡(2x)+sin⁡(10x3−2x)+sin⁡(10x3+2x)2sin⁡(2x)cos⁡2(5x3)\frac{30 x^{2} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(10 x^{3} - 2 x \right)} + \sin{\left(10 x^{3} + 2 x \right)}}{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x^{3} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
              /   3\                                       
2*cos(2*x)*tan\5*x /       2 /       2/   3\\              
-------------------- + 15*x *\1 + tan \5*x //*log(sin(2*x))
      sin(2*x)
15x2(tan⁡2(5x3)+1)log⁡(sin⁡(2x))+2cos⁡(2x)tan⁡(5x3)sin⁡(2x)15 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(5 x^{3} \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /    /       2     \                                                                             2 /       2/   3\\         \
  |    |    cos (2*x)|    /   3\        /       2/   3\\ /        3    /   3\\                 30*x *\1 + tan \5*x //*cos(2*x)|
2*|- 2*|1 + ---------|*tan\5*x / + 15*x*\1 + tan \5*x //*\1 + 15*x *tan\5*x //*log(sin(2*x)) + -------------------------------|
  |    |       2     |                                                                                     sin(2*x)           |
  \    \    sin (2*x)/                                                                                                        /
2(30x2(tan⁡2(5x3)+1)cos⁡(2x)sin⁡(2x)+15x(15x3tan⁡(5x3)+1)(tan⁡2(5x3)+1)log⁡(sin⁡(2x))−2(1+cos⁡2(2x)sin⁡2(2x))tan⁡(5x3))2 \left(\frac{30 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} + 15 x \left(15 x^{3} \tan{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} - 2 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \tan{\left(5 x^{3} \right)}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                                                                                                                                                                                  /       2     \                                                                          \
  |                                                                                                                                                                                  |    cos (2*x)|             /   3\                                                       |
  |                                                                                                                                                                                8*|1 + ---------|*cos(2*x)*tan\5*x /                                                       |
  |   /                                        2                                                                        \                                        /       2     \     |       2     |                           /       2/   3\\ /        3    /   3\\         |
  |   |       2/   3\        6 /       2/   3\\        3 /       2/   3\\    /   3\        6    2/   3\ /       2/   3\\|                     2 /       2/   3\\ |    cos (2*x)|     \    sin (2*x)/                      90*x*\1 + tan \5*x //*\1 + 15*x *tan\5*x //*cos(2*x)|
2*|15*\1 + tan \5*x / + 225*x *\1 + tan \5*x //  + 90*x *\1 + tan \5*x //*tan\5*x / + 450*x *tan \5*x /*\1 + tan \5*x ///*log(sin(2*x)) - 90*x *\1 + tan \5*x //*|1 + ---------| + ------------------------------------ + ----------------------------------------------------|
  |                                                                                                                                                              |       2     |                 sin(2*x)                                       sin(2*x)                      |
  \                                                                                                                                                              \    sin (2*x)/                                                                                              /
2(−90x2(1+cos⁡2(2x)sin⁡2(2x))(tan⁡2(5x3)+1)+90x(15x3tan⁡(5x3)+1)(tan⁡2(5x3)+1)cos⁡(2x)sin⁡(2x)+8(1+cos⁡2(2x)sin⁡2(2x))cos⁡(2x)tan⁡(5x3)sin⁡(2x)+15(225x6(tan⁡2(5x3)+1)2+450x6(tan⁡2(5x3)+1)tan⁡2(5x3)+90x3(tan⁡2(5x3)+1)tan⁡(5x3)+tan⁡2(5x3)+1)log⁡(sin⁡(2x)))2 \left(- 90 x^{2} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) + \frac{90 x \left(15 x^{3} \tan{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} + \frac{8 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(5 x^{3} \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} + 15 \left(225 x^{6} \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right)^{2} + 450 x^{6} \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 90 x^{3} \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \tan{\left(5 x^{3} \right)} + \tan^{2}{\left(5 x^{3} \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tg(5*x^3)ln(sin(2*x))
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