Derivada de xtgx+ln(cosx)+c

Solución

Ha introducido [src]

x*tan(x) + log(cos(x)) + c

$$c + \left(x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)$$

x*tan(x) + log(cos(x)) + c

Solución detallada

diferenciamos $c + \left(x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)$ miembro por miembro:
1. diferenciamos $x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ miembro por miembro:
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$
  2. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$
2. La derivada de una constante $c$ es igual a cero.
Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Primera derivada [src]

  /       2   \   sin(x)         
x*\1 + tan (x)/ - ------ + tan(x)
                  cos(x)

$$x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$$

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Segunda derivada [src]

                   2                              
         2      sin (x)       /       2   \       
1 + 2*tan (x) - ------- + 2*x*\1 + tan (x)/*tan(x)
                   2                              
                cos (x)

$$2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1$$

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Tercera derivada [src]

  /               2               3                                                        \
  |  /       2   \    sin(x)   sin (x)     /       2   \                 2    /       2   \|
2*|x*\1 + tan (x)/  - ------ - ------- + 3*\1 + tan (x)/*tan(x) + 2*x*tan (x)*\1 + tan (x)/|
  |                   cos(x)      3                                                        |
  \                            cos (x)                                                     /

$$2 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$

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¿Cómo usar?

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Derivada de xtgx+ln(cosx)+c

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución