Derivada de x*ln(sinx/x)

Solución

Ha introducido [src]

     /sin(x)\
x*log|------|
     \  x   /

$$x \log{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \right)}$$

x*log(sin(x)/x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}$
Como resultado de: $\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \right)}$
Simplificamos:

$\frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \right)} - 1$

Respuesta:

$\frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \right)} - 1$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 2 /cos(x)   sin(x)\              
x *|------ - ------|              
   |  x         2  |              
   \           x   /      /sin(x)\
-------------------- + log|------|
       sin(x)             \  x   /

$$\frac{x^{2} \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

             /    sin(x)                                  /  sin(x)         \                \           
             |  - ------ + cos(x)                         |- ------ + cos(x)|*cos(x)         |           
             |      x               2*sin(x)   2*cos(x)   \    x            /                |   2*sin(x)
2*cos(x) - x*|- ----------------- - -------- + -------- + -------------------------- + sin(x)| - --------
             |          x               2         x                 sin(x)                   |      x    
             \                         x                                                     /           
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  sin(x)

$$\frac{- x \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) + 2 \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                           /           2*sin(x)   2*cos(x)                                                                /  2*sin(x)   2*cos(x)         \                                    \                                                                  
                           |         - -------- + -------- + sin(x)                            2    /  sin(x)         \   |- -------- + -------- + sin(x)|*cos(x)   /  sin(x)         \       |     /  sin(x)         \                /  sin(x)         \       
                           |               2         x                                      cos (x)*|- ------ + cos(x)|   |      2         x             |          |- ------ + cos(x)|*cos(x)|   3*|- ------ + cos(x)|              3*|- ------ + cos(x)|*cos(x)
            6*cos(x)       |sin(x)        x                           3*sin(x)   3*cos(x)           \    x            /   \     x                        /          \    x            /       |     \    x            /   6*sin(x)     \    x            /       
-3*sin(x) - -------- + 2*x*|------ - ------------------------------ - -------- + -------- + --------------------------- + --------------------------------------- - --------------------------| + --------------------- + -------- - ----------------------------
               x           |  x                    x                      3          2                   2                                 sin(x)                            x*sin(x)         |             x                 2                 sin(x)           
                           \                                             x          x                 sin (x)                                                                                 /                              x                                   
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                              sin(x)

$$\frac{2 x \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) - \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 3 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

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