Derivada de x*ln(x)/x-e^(-0.5*x^2)

1. diferenciamos $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{x \log{\left(x \right)}}{x}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) - x \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = - \frac{x^{2}}{2}$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2}}{2}\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $- x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

      Entonces, como resultado: $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

   Como resultado de: $x e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) - x \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $x e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{1}{x}$

Respuesta:

$x e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{1}{x}$