Derivada de y=((sqrt(x+1))^1/4)cos(3x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt[4]{\sqrt{x + 1}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x + 1}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[4]{u}$ tenemos $\frac{1}{4 u^{\frac{3}{4}}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x + 1}$:

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{8 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{8}}}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

   Como resultado de: $- 3 \sqrt[8]{x + 1} \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{8 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{8}}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 24 \left(x + 1\right) \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{8 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{8}}}$

Respuesta:

$\frac{- 24 \left(x + 1\right) \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{8 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{8}}}$