Derivada de x*ln(x²+1)+ln5,

1. diferenciamos $x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \log{\left(5 \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

      Como resultado de: $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

   2. La derivada de una constante $\log{\left(5 \right)}$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x^{2} + \left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x^{2} + 1}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{2} + \left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x^{2} + 1}$