Derivada de (xsqrt2/sqrt(1+x^4))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{2} x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{4} + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $\sqrt{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{4} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{4} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

         Como resultado de: $4 x^{3}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{2 \sqrt{2} x^{4}}{\sqrt{x^{4} + 1}} + \sqrt{2} \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{4} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{2} \left(1 - x^{4}\right)}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(1 - x^{4}\right)}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$