Derivada de y=sin^2(x)/sqrt(x+2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x + 2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)$:

      1. diferenciamos $x + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{2 \sqrt{x + 2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x + 2}}}{x + 2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(\left(4 x + 8\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{\left(\left(4 x + 8\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}$