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y=cos^4(x)+sin(tg(x^1/2))
Derivada de la función/ y=cos/ x^1/2/ y=cos^4(x)+sin(tg(x^1/2))

Derivada de y=cos^4(x)+sin(tg(x^1/2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   4         /   /  ___\\
cos (x) + sin\tan\\/ x //
sin⁡(tan⁡(x))+cos⁡4(x)\sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} 
cos(x)^4 + sin(tan(sqrt(x)))
Solución detallada

  1. diferenciamos sin⁡(tan⁡(x))+cos⁡4(x)\sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u4u^{4} tenemos 4u34 u^{3}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −4sin⁡(x)cos⁡3(x)- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}

    4. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}.

    5. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

          1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          cos⁡(x)2x\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

          1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡(x)2x- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)2x+cos⁡2(x)2xcos⁡2(x)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      (sin⁡2(x)2x+cos⁡2(x)2x)cos⁡(tan⁡(x))cos⁡2(x)\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

    Como resultado de: (sin⁡2(x)2x+cos⁡2(x)2x)cos⁡(tan⁡(x))cos⁡2(x)−4sin⁡(x)cos⁡3(x)\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    −4sin⁡(x)cos⁡3(x)+cos⁡(tan⁡(x))2xcos⁡2(x)- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

Respuesta:

−4sin⁡(x)cos⁡3(x)+cos⁡(tan⁡(x))2xcos⁡2(x)- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500500
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                     /       2/  ___\\    /   /  ___\\
       3             \1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //
- 4*cos (x)*sin(x) + ---------------------------------
                                      ___             
                                  2*\/ x
−4sin⁡(x)cos⁡3(x)+(tan⁡2(x)+1)cos⁡(tan⁡(x))2x- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                    2                                                                                                   
                                   /       2/  ___\\     /   /  ___\\   /       2/  ___\\    /   /  ___\\   /       2/  ___\\    /   /  ___\\    /  ___\
       4            2       2      \1 + tan \\/ x // *sin\tan\\/ x //   \1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //   \1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //*tan\\/ x /
- 4*cos (x) + 12*cos (x)*sin (x) - ---------------------------------- - --------------------------------- + --------------------------------------------
                                                  4*x                                    3/2                                    2*x                     
                                                                                      4*x
12sin⁡2(x)cos⁡2(x)−4cos⁡4(x)−(tan⁡2(x)+1)2sin⁡(tan⁡(x))4x+(tan⁡2(x)+1)cos⁡(tan⁡(x))tan⁡(x)2x−(tan⁡2(x)+1)cos⁡(tan⁡(x))4x3212 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{4}{\left(x \right)} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{4 x} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 x} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                           3                                    2                                      2                                                                                                                                                                             2                           
                                          /       2/  ___\\     /   /  ___\\   /       2/  ___\\     /   /  ___\\     /       2/  ___\\     /   /  ___\\     /       2/  ___\\    /   /  ___\\      2/  ___\ /       2/  ___\\    /   /  ___\\     /       2/  ___\\    /   /  ___\\    /  ___\     /       2/  ___\\     /   /  ___\\    /  ___\
        3                   3             \1 + tan \\/ x // *cos\tan\\/ x //   \1 + tan \\/ x // *cos\tan\\/ x //   3*\1 + tan \\/ x // *sin\tan\\/ x //   3*\1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //   tan \\/ x /*\1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //   3*\1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //*tan\\/ x /   3*\1 + tan \\/ x // *sin\tan\\/ x //*tan\\/ x /
- 24*sin (x)*cos(x) + 40*cos (x)*sin(x) - ---------------------------------- + ---------------------------------- + ------------------------------------ + ----------------------------------- + --------------------------------------------- - ---------------------------------------------- - -----------------------------------------------
                                                           3/2                                  3/2                                    2                                     5/2                                        3/2                                              2                                                3/2                    
                                                        8*x                                  4*x                                    8*x                                   8*x                                        2*x                                              4*x                                              4*x
−24sin⁡3(x)cos⁡(x)+40sin⁡(x)cos⁡3(x)+3(tan⁡2(x)+1)2sin⁡(tan⁡(x))8x2−3(tan⁡2(x)+1)cos⁡(tan⁡(x))tan⁡(x)4x2−(tan⁡2(x)+1)3cos⁡(tan⁡(x))8x32−3(tan⁡2(x)+1)2sin⁡(tan⁡(x))tan⁡(x)4x32+(tan⁡2(x)+1)2cos⁡(tan⁡(x))4x32+(tan⁡2(x)+1)cos⁡(tan⁡(x))tan⁡2(x)2x32+3(tan⁡2(x)+1)cos⁡(tan⁡(x))8x52- 24 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{8 x^{2}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{4 x^{2}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{8 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{8 x^{\frac{5}{2}}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=cos^4(x)+sin(tg(x^1/2))
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