Sr Examen
Ecuación diferencial xydy+(ln^2)(x)dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
x*log (x) + x*--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)}^{2} = 0$$
x*y*y' + x*log(x)^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)}^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)}^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)}^{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \log{\left(x \right)}^{2}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = - dx \log{\left(x \right)}^{2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- \log{\left(x \right)}^{2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - x \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x \log{\left(x \right)}^{2} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x \log{\left(x \right)}^{2} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x}$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)}^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)}^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)}^{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \log{\left(x \right)}^{2}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = - dx \log{\left(x \right)}^{2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- \log{\left(x \right)}^{2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - x \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x \log{\left(x \right)}^{2} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x \log{\left(x \right)}^{2} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x}$$
Respuesta
[src]
_____________________________________
/ 2
y(x) = -\/ C1 - 4*x - 2*x*log (x) + 4*x*log(x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x \log{\left(x \right)}^{2} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x}$$
_____________________________________
/ 2
y(x) = \/ C1 - 4*x - 2*x*log (x) + 4*x*log(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x \log{\left(x \right)}^{2} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral