Ecuación diferencial dy/dx=y/(3+3x-y)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{y{\left(x \right)}}{3 x - y{\left(x \right)} + 3} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x + 1}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$\left(x + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{\left(x + 1\right) u{\left(x \right)}}{3 x - \left(x + 1\right) u{\left(x \right)} + 3} + u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$\left(x + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{\left(u{\left(x \right)} - 2\right) u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x + 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{\left(u{\left(x \right)} - 2\right) u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x + 1$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{\left(u{\left(x \right)} - 2\right) u{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(u{\left(x \right)} - 3\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} - 2\right) u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 3}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} - 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 2\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} - 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 2\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 1}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} - 3\right)}{\left(u{\left(x \right)} - 2\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u - 3}{u \left(u - 2\right)}\, du = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{3 \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u - 2 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x + 1}$$
$$\frac{3 \log{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x + 1} \right)}}{2} - \frac{\log{\left(-2 + \frac{y{\left(x \right)}}{x + 1} \right)}}{2} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$