Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(y^2+dx)=xy*dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
____________
/ 2
\/ dx + y (x) d
--------------- = x*--(y(x))*y(x)
dx dx
$$\frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx} = x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
sqrt(dx + y^2)/dx = x*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{\sqrt{dx + y^{2}}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- dx \sqrt{dx + y^{2}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + \frac{2 C_{1} \log{\left(x \right)}}{dx} - dx + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{dx^{2}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + \frac{2 C_{1} \log{\left(x \right)}}{dx} - dx + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{dx^{2}}}$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{\sqrt{dx + y^{2}}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- dx \sqrt{dx + y^{2}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + \frac{2 C_{1} \log{\left(x \right)}}{dx} - dx + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{dx^{2}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + \frac{2 C_{1} \log{\left(x \right)}}{dx} - dx + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{dx^{2}}}$$
Respuesta
[src]
__________________________________
/ 2
/ 2 log (x) 2*C1*log(x)
y(x) = - / C1 - dx + ------- + -----------
/ 2 dx
\/ dx
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + \frac{2 C_{1} \log{\left(x \right)}}{dx} - dx + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{dx^{2}}}$$
__________________________________
/ 2
/ 2 log (x) 2*C1*log(x)
y(x) = / C1 - dx + ------- + -----------
/ 2 dx
\/ dx
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + \frac{2 C_{1} \log{\left(x \right)}}{dx} - dx + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{dx^{2}}}$$
Clasificación
factorable
separable
lie group
separable Integral