Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(3+y^2)dx+sqrt(1+x^2)ydy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ ________
/ 2 / 2 d
\/ 3 + y (x) + \/ 1 + x *--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$\sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3} = 0$$
sqrt(x^2 + 1)*y*y' + sqrt(y^2 + 3) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 3} = Const - \operatorname{asinh}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \operatorname{asinh}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \operatorname{asinh}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
$$\sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 3} = Const - \operatorname{asinh}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \operatorname{asinh}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \operatorname{asinh}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
Respuesta
[src]
______________________________________
/ 2 2
y(x) = -\/ -3 + C1 + asinh (x) - 2*C1*asinh(x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \operatorname{asinh}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
______________________________________
/ 2 2
y(x) = \/ -3 + C1 + asinh (x) - 2*C1*asinh(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \operatorname{asinh}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -1.625362229188423e-11)
(-5.555555555555555, 6.90633611016657e-310)
(-3.333333333333333, 6.90611784115623e-310)
(-1.1111111111111107, 6.90611784116255e-310)
(1.1111111111111107, 6.9061178411689e-310)
(3.333333333333334, 6.9061178411752e-310)
(5.555555555555557, 6.90611784093647e-310)
(7.777777777777779, 6.90633611016657e-310)
(10.0, 6.90611784067244e-310)
(10.0, 6.90611784067244e-310)